Conjuntos III

Durante la sesión de estudio de este día, vimos lo que es la aplicación de conjuntos y distintas operaciones entre conjuntos. Esta clase me pareció muy entretenida ya que pude poner en practica la teoría que aprendí acerca de los conjuntos y sus distintas operaciones. 

Estas son otras de las operaciones trabajadas en clase: 

•  Operación diferencia simétrica:

Es aquella operación que consiste en formar un conjunto nuevo con los elementos diferentes de los dos conjuntos dados. 

• Complemento de un conjunto:

Son todos aquellos elementos que le faltan a un conjunto para ser igual al conjunto Universo. 

• Aplicaciones de las operaciones con conjuntos: 

Este es un vídeo que me ayudo a entender y practicar las aplicaciones de las operaciones con conjuntos:

Conjuntos II

En esta sesión de estudios aprendí acerca de las operaciones básicas entre conjuntos. Por lo general las operaciones entre conjuntos son fáciles. Sin embargo, recomiendo siempre prestar atención a los conjuntos y a lo que cada ejercicio esta pidiendo. 

Dentro de las operaciones básicas entre conjuntos podemos encontrar: 

Unión: 

Esta operación consiste en un unir todos los elementos de dos o mas conjuntos en un solo conjunto. La unión se expresa por el símbolo: U.

Intersección: 

Es cuando se forma un nuevo conjunto con los elementos que tienen en común dos o mas conjuntos. La intersección se representa por el símbolo: ∩.

Diferencia:

Esta operación consiste en formar un nuevo conjunto con los elementos diferentes del primero de ellos. El símbolo que se utiliza para representar esta operación es: -

Conjuntos I

Durante esta sesión de estudios aprendí las tres maneras en que se puede escribir un conjunto, las cuales son:

1) Forma tabular, enumerativa o extensiva
2) Forma descriptiva o  comprensiva
3) Forma gráfica

También recordé  lo que es un conjunto universo, conjuntos vacíos, el cardinal de un conjunto(el numero de elementos que posee un conjunto), así como también lo que es el conjunto infinito y un conjunto unitario. 

Rompecabezas Lógicos

Rompecabezas Lógicos

Resolver los rompecabezas lógicos fue un reto para mi al principio ya que los enunciados llevan un orden que debe de seguirse y es necesario relacionar ciertas piezas de una respuesta que has encontrado con otras respuestas para así formar una respuesta absoluta o global.


Lo que me ayudo mucho para poder resolver estos ejercicios es marcar los enunciados a los cuales ya he encontrado una respuesta y si hay un enunciado pendiente por resolver dejar señalado cual es y subrayar palabras clave. 

Condicional Parte II

Los ejercicios que hicimos en clase me ayudaron a poner en práctica las variaciones de la condicional o implicación. Los 3 tipos de variaciones de esta condicional son: reciproca, inversa y contrapositiva. Algo que descubrí y que me parece muy interesante es que para obtener la variación contrapositiva se debe de negar variación reciproca. 

Durante esta sesión también aprendí que la bicondicional o doble implicación se lee " Si y solo si" y su símbolo es: ↔. La bicondicional o doble implicación solo es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad. 

Por ejemplo: 

p = V

q = V

p ↔ q = V ↔ V = V

Condicional o Implicación

En esta clase aprendí que el símbolo de la condicional o implicación es "→ " y en palabras se representa como: "Si...entonces". Este conectivo lógico me encanta ya que hace que en una proposición compuesta exista un antecedente y un consecuente. El antecedente es la proposición que esta después de "Si" y el consecuente es lo que le sigue a la palabra "entonces". 

Por ejemplo: 

La condicional o implicación solamente es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. 

Conjunción, Disyunción y Leyes de Morgan

Durante esta sesión de estudio aprendí que la conjunción es representada por el signo "" y en palabras la letra "y" es la que la identifica.También que la conjunción es únicamente verdadera cuando P y Q son verdaderas

Por ejemplo: 

En este ejemplo, p y q son verdaderas, entonces: 

P  Q = V  V = V

 La disyunción por otra parte, es representada por el signo "V" y su letra es la "o". Una proposición compuesta que tiene este conectivo lógico es falsa únicamente cuando las dos proposiciones que la componen son falsas, de lo contrario son verdaderas.

Por ejemplo:

p V q = V v F = V

Este vídeo es una herramienta que me ayudó a comprender las leyes de Morgan: 

Proposiciones

Durante esta clase aprendí lo que es una proposición que en mis propias palabras es: Un enunciado al cual se le puede dar un valor de verdad, éste puede ser: verdadero o falso.

También aprendí que una proposición no puede ser una pregunta, una exclamación ni una orden. 

Dentro de las proposiciones están las simples y las compuestas. Las proposiciones compuestas son aquellas que constan de dos o mas proposiciones simples. 

También aprendí  de que las proposiciones simples, de una proposicion compuesta, están unidas por conectivos lógicos. Estos son: y, o, Si...entonces, Si y solo si.  

Por ejemplo: 

Interpretación de Gráficas Parte II

Durante esta clase realizamos diversos ejercicios que me ayudaron a poder comprender la lectura de gráficas circulares, de barras, lineas, radicales, así como también pictogramas.

Una de las gráficas que me pareció muy interesante, fue la de radicales ya que no estaba acostumbrado a interpretar este tipo de gráficas. Lo que me ayudo a interpretar lo que estas gráficas representan, son los valores que se le dan a cada rombo de la gráfica. Por ejemplo: En la imagen de abajo, serían los valores de porcentaje (25%, 20%, etc).

Interpretación de Gráficas Circulares

La actividad realizada durante esta clase me pareció muy interesante ya que al analizar las gráficas circulares que se nos presentaron pude entender mejor el rol de los porcentajes y las cantidades de las cosas que se evalúan. 

Para resolver algunos incisos de los ejercicios vistos en clase, debíamos de utilizar una regla de tres y para así obtener la respuesta al inciso. 

La manera en la que interpretamos una gráfica es de suma importancia. Es por eso que recomiendo enfocarse y poner atención a los datos e información que se presenta. 

Tangram

Tangram consiste de un juego de 7 piezas, su objetivo es el de formar figuras. Una de las maneras en las que se me facilita encontrar que pieza va en que lugar para formar la figura, es dibujando el contorno de las piezas en los posibles lugares en los cuales deben estar para formar la figura.

Al utilizar este método, encontrar la posición de cada pieza de la figura se me es mucho más fácil porque me permite reconocer que error cometí e ir buscando otras posibles soluciones sin caer en el mismo error.  

Construcción con Ladrillos

Para esta clase se nos pidió llevar impresa una plantilla para la construcción con ladrillos. El propósito de la clase fue ayudarnos a mejorar nuestro campo visual, agilizar nuestra mente, etc. 

Pude notar que en cuantas mas figuras lograba formar, mi mente se agilizaba. Visualizaba la figura junto con los ladrillos y luego armaba la figura en mi mente. 

Estrategia: Resolver un problema mediante una ecuación lineal

El uso de esta estrategia nos permite conocer el valor de una o mas incógnitas. Para resolver problemas mediante ecuaciones lineales aprendí que es indispensable entender realmente el problema para luego establecer una o mas ecuaciones y así resolver el problema.

Por ejemplo: 

"En un circo el precio de admisión es de Q25.00 para adultos y Q10.00 para niños. Si el numero total de espectadores fue 397 y la recaudacion fue de Q5,680.00, ¿cuantos adultos y cuantos niños asistieron?"

Para resolver este problema utilizaremos los pasos de Polya: 

1. Entender el problema: ¿Que busco? Encontrar la cantidad de adultos y niños que asistieron al circo.

2. Formular un plan: Resolver el problema mediante ecuaciones lineales

3. Llevar a cabo un plan:

R// Asistieron al circo 114 adultos y 283 niños.

4. Verificar: 

Estrategia: Resolver una ecuación de primer grado

Resolver una ecuación de primer grado consiste en despejar el valor de una variable, por ejemplo "x". Durante la clase realizamos ejercicios para practicar como despejar la "x" de una ecuación, para así, encontrar su valor. Un ejercicio muy interactivo fue el de un crucigrama, para resolverlo, debíamos encontrar el valor de distintas ecuaciones. Este ejercicio me pareció muy entretenido y efectivo.

Estas son unas de las cosas que se deben de tomar en cuenta cuando se realizan operaciones de primer grado:  

1. Tener cuidado con los signos.

2. Respetar el orden de operaciones

Ejemplo: 

1. Entender el Problema: Resolver para "z"

2. Formular un plan: Resolver una ecuación de primer grado

3. Llevar a cabo un plan: 

4. Verificar: Al sustituir 36 en "z" en ambos lados de la ecuación original, da como resultado 6 en ambos lados. 

Estrategia: Proporcionalidad o porcentajes

Al poner en practica el uso de esta estrategia en clase, me di cuenta de que es muy necesario prestar atención a lo que se pide en el problema. 

Los problemas que tienen que ver con porcentajes o proporciones eran de dificultad para mí pero al utilizar los 4 pasos de Polya y esta estrategia es mas fácil resolverlos. 

Ejemplo: 

Se vendió un motor industrial obteniendo una ganancia de Q3,450.00, lo que represento al 15% del costo. ¿Cuanto costo el motor industrial y en cuanto se vendió? 

1. Entender el Problema: 

¿Que busco?  Valor de costo del motor industrial y en cuanto se vendió.

2. Formular un Plan: Utilizar la estrategia de proporcionalidad o porcentajes

3. Llevar a cabo un plan:

Ganancia = Ingresos - Costos

        

Respuesta: El costo del motor industrial es de Q23,000.00 y se vendió en Q26,450.00

4. Verificar: 

Resolución de problemas mediante el razonamiento Deductivo, Inductivo y Analógico

Antes de recibir la clase, se nos pidió leer un documento acerca de este tema. De este documento aprendí que a medida en que el hombre se desarrollaba en el ámbito matemático, se veían en la necesidad de resolver problemas.

El razonamiento deductivo es el que parte de principios generales a ejemplos específicos. El razonamiento inductivo es lo contrario, parte de ejemplos específicos a principios generales. El razonamiento analógico es aquel que se caracteriza por la aplicación de principios específicos a específicos. 

Luego de conocer la teoría, en la clase realizamos varios ejercicios para poner en practica nuestro conocimiento adquirido. El siguiente ejemplo es uno de los problemas que se me dificulto:

"Hoy es viernes, mañana será sábado."

La premisa "Hoy es viernes" viene seguida de la conclusión: "Mañana será sábado". En este ejemplo se utiliza el hecho de que el sábado sigue al viernes, sin embargo no se menciona de manera explicita. Debido a que la conclusión se deduce de hechos generales a algo especifico. El razonamiento a utilizar, es el razonamiento deductivo. 

Estrategia: Resolver un problema equivalente

Esta estrategia me gusto mucho ya que en base a una estrategia aprendida con anterioridad, se resuelve un problema equivalente. Claro ejemplo de esto fue el ejercicio 1 de la pagina 133 que consistía en colocar los números 2,4,6,8,10,12,14,16,18 en un cuadro de 3x3 de manera que la suma vertical, horizontal y diagonal sea siempre 30. Este ejercicio se puede comparar con el ejercicio 7 de resolver un problema mas simple. 

Dentro de los ejercicios propuestos para resolver se me dificultaron los ejercicios 8 y 9. Estos ejercicios se pueden comparar con el ejercicio 24 de hacer un diagrama o dibujo ya que hay que poner a correr los dos relojes de arena al mismo tiempo e ir "jugando" con ellos hasta cronometrar el tiempo que se pide en cada ejercicio.

El ejercicio 16 se me facilito mucho ya que es muy parecido al ejercicio 15 de hacer un diagrama o figura.

Les adjunto un video para resolver problemas utilizando el método de los pasos de Polya:

Estrategia: Hacer un diagrama o figura

Existen problemas o ejercicios en los cuales el uso de esta estrategia encaja a la perfección. Esta estrategia consiste en, como su nombre lo dice, hacer un diagrama o figura para resolver problemas matemáticos.

Uno de los ejercicios que mas se me dificulto fue el ejercicio 23. En dicho ejercicio se pedía detectar la esfera de menor peso(de 8 esferas), utilizando una balanza solamente 3 veces y 2 veces. La razón por la que se me dificultaba resolverlo es por no plasmar mis ideas en papel. Al utilizar la estrategia de hacer un diagrama o figura, pude resolver este ejercicio.

Hubo un ejercicio que se me facilito, el cual es el siguiente: 

15. Antonio, Eduardo, Julio y Victor fueron a cenar en compañía de sus esposas. En el restaurante ocuparon una mesa redonda y se sentaron de forma que se cumplan las siguientes condiciones:

• Ningún esposo estaba sentado al lado de su esposa.
• Enfrente de Antonio se sentaba Julio
• A la derecha de la esposa de Antonio se sentaba Eduardo
• no había dos hombres juntos. 

      ¿Que posición toma cada persona en la mesa redonda?

Solución: 

1. Entender el problema: Encontrar la posición que toma cada persona en la mesa redonda cumpliendo las condiciones del ejercicio.
2. Escoger una estrategia: Hacer un diagrama o figura
3. Llevar a cabo un plan: 

       4. Verificar: La posición en la que están sentadas las personas cumple con las condiciones del ejercicio. 

Estrategia: Trabajar hacia atrás

El uso de esta estrategia me ha beneficiado en gran manera. Esta estrategia consiste en que, a partir de un dato final o la solución, ir pasando hacia atrás, paso a paso, hasta llegar a los datos originales.

El ir paso a paso, hacia atrás de manera ordenada me facilita la resolución de estos problemas. Por ejemplo: 

• ¿Cuál es el número que cuando se multiplica por 5, se le suma 3/5, se divide entre 4, se le disminuye 2/5, luego se eleva al cuadrado, se disminuye en 11, se le saca raíz cuadrada, se le suma 19 y finalmente se divide entre 6, da como resultado 4?

Solución: 

1. Entender el problema: ¿Qué busco? El numero original que luego de varias operaciones da como resultado 4. 

2. Escoger una estrategia: Trabajar hacia atrás.

3. Llevar a cabo un plan: 

4. Verificar: El problema se puede comprobar de la siguiente forma: 

Estrategia: Utilización de un cuadro o lista

Cuando utilizo esta estrategia utilizo un cuadro o una lista para resolver un problema. Entre más especifico sea un cuadro o lista, mas fácil va a ser resolver el problema y entenderlo. 

El resolver problemas utilizando esta estrategia me permite ser mas ordenado y me ayuda a enfocarme y transmitir mis ideas. 

Al realizar varios ejercicios, me tope con uno ejercicio en especifico que se me dificultó. La razón de ésto fue que no hice una tabla, cuadro, o lista para resolverlo. Intente realizar el ejercicio en mi mente sin escribirlo o dejar rastro de lo que hacia y eso termino causando confusión. 

El problema dice así: 

Tres equipos de fútbol: blancos, rojos, amarillos disputaron un torneo de una sola ronda, al cabo del cual apareció un papelito suelto con ciertos datos sobre la cantidad de partidos ganados, perdidos, empatados, goles a favor y goles en contra. Era así:

¿Cuál fue el resultado de cada partido?

Solución: 

1. Entender el problema: ¿Qué busco? Saber cual fue el resultado de cada partido

2. Escoger una estrategia: Utilización de un cuadro o lista

3. Llevar a cabo un plan 

Se deben tomar en cuenta los goles a favor y en contra, ambos deben de sumar 8.

4. Verificar: Al incluir los resultados de cada partido podemos confirmar que cumple con las condiciones del ejercicio. 

Estrategia: Buscar un patrón

Cuando conocí esta estrategia para resolver problemas, aprendí el Patrón establecido por Karl F. Gauss. 

Al utilizar el patrón de Karl Friedrich Gauss la resolucion de problemas como el que se presenta a continuación, se me facilitaron: 

"Si dos escalones se construyen con 3 cubos, 3 escalones con 6, 4 escalones con 10 cubos, ¿con cuántos cubos se construyen 10 escalones y 50 escalones?

1. Entender el Problema: ¿Qué busco? Saber la cantidad de cubos que se utilizan para construir 10 escalones y 50 escalones.

2. Escoger una estrategia: Buscar un patrón

3. Llevar a cabo un plan: 

1 + 2 = 3, 3 x 1= 3

1 + 2 + 3 = 4 x 1.5 = 6

1 + 2 + 3 + 4 = 5 x 2 = 10

Utilizando el patrón de Gauss

1 + 2 + 3 .... + 10 = 11 x 5 = 55 cubos para 10 escalones

1 + 2 + 3 .... +  50 = 51 x 25 = 1275 cubos para 50 escalones

4. Verificar: Al realizar la suma de 1+2+3+....+10/50 se verifica que los resultados son 55 y 1275.

Estrategia: Resolver un problema más sencillo 

Esta estrategia me ayudo a comprender que la resolución un problema complejo puede realizarse con la ayuda de resolver un problema más sencillo. El problema mas sencillo debe de estar relacionado con el que se tiene que resolver, pero su resolución es más simple. 

Un problema que se me dificultó, fue el siguiente:

Se dispone de 12 palillos que forman 4 rombos de igual tamaño, según muestra la ilustración. Cambiando la posición de 4 palillos transformar los rombos en 6 triángulos iguales.

     /\

   /    \                                                               

  /\    /\                                                       /\    /\

/    \/    \                   Respuesta:               /    \/    \

\    /\    /                                                   \    /\    /

  \/    \/                                                       \/    \/

   \    /

     \/

Se me dificulto porque luego de hacer varios intentos no podía formar una figura que cumpliera con las condiciones del ejercicio. 

Para resolver este ejercicio utilice la estrategia de: Resolver un problema más sencillo. Tome un rombo por aparte y me di cuenta de que si pongo un palillo en medio del rombo, se forman 2 triángulos iguales. Al utilizar esta lógica en el ejercicio, primero quite los palillos del primer y ultimo rombo. Luego coloque un palillo en cada una aberturas de donde extraje los palillos. Los 2 palillos restantes los coloque en medio de los rombos laterales, de modo que los cortaran a la mitad y así formar 6 triángulos iguales. 

Resolución de Problemas

Para la resolución de problemas matemáticos descubrí el metodo de Polya, dicho metodo consta de 4 pasos los cuales son:

• Comprender el problema
• Formular un plan
• Llevar a cabo un plan
• Revisar y comprobar

Estos cuatro pasos tienen mucha logica para mí ya que es indispensable: Primero: Comprender el problema, es decir, entenderlo de tál forma de que sabemos cúal es la situación, sabemos de qué es de lo que se esta hablando. Segundo: al formular un plan, nos planteamos de que manera podemos solucionar el problema. Tercero: cuando llevamos a cabo un plan, ponemos en práctica el plan formulado hasta encontrar una respuesta al problema. Cuarto: revisamos y comprobamos nuestras respuestas para concluir que realmente las respuestas encontradas son correctas. 

Estrategia: Ensayo y Error

Al utilizar esta estrategia para la resolución de problemas, amplía la manera en la que veo las cosas. Me da la oportunidad de cometer errores y seguir probando hasta encontrar la respuesta correcta a un problema. 

Al tener en mente de que mi estrategia para resolver un problema es de "Ensayo y Error" se me facilita el buscar la respuesta a un ejercicio. Por ejemplo: 

    _ 2 7

    3 _ 3

+  2 2 _

_ 4 2 6

Para resolver este ejercicio ingreso numeros del 1 al 9 en los espacios en blanco hasta que cumplan con los requisitos de la operación. En este caso la respuesta sería: 

   8 2 7

   3 7 3

+ 2 2 6

1 4 2 6